【人教版】初中數學七年級上冊：天平上的奧祕：等式的基本性質

等式就像是數學世界裡的一座精密天平。解方程的過程，本質上就是一場「維持平衡」的藝術。我們的目標非常明確：透過合法的手段，將糾纏在一起的代數式逐步簡化，最終讓天平的一端只剩下孤獨的未知數 $x$，而另一端呈現出它的真實價值。

等式的兩大基本性質

為了在不破壞平衡的前提下變形方程，我們需要遵循兩條核心法則：

性質 1（平移守恆）： 等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等。這就像在天平兩端同時增減相同重量的砝碼，常用於「消去」多餘的常數項。
性質 2（比例守恆）： 等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為 0 的數，結果仍相等。這用於調整未知數的係數，讓它變回最純粹的 1。

記住：解方程就是把方程逐步轉化為 $x = a$ 的形式。性質 1 對付加減，性質 2 處理乘除，目標永遠是讓 $x$ 現出原形！

核心公式：若 $a=b$，則 $a \pm c = b \pm c$；若 $a=b$，則 $ac = bc$ 且 $\frac{a}{c} = \frac{b}{c} (c \neq 0)$。

QUESTION 1

利用等式的性質解方程 $x - 5 = 6$，第一步最合適的做法是：

等式兩邊同減 5

等式兩邊同加 5

等式兩邊同乘 5

等式兩邊同除以 6

QUESTION 2

利用等式的性質解方程 $0.3x = 45$，求得 $x$ 的值為：

$13.5$

$15$

$150$

$1500$

QUESTION 3

解方程 $5x + 4 = 0$，應如何操作？

兩邊減 4 再除以 5

兩邊加 4 再除以 5

兩邊除以 5 再減 4

兩邊乘 5 再減 4

QUESTION 4

利用等式的性質解方程 $2 - \f\frac{1}{4}x = 3$，得到的解是：

$x = 4$

$x = -4$

$x = 20$

$x = -20$

QUESTION 5

將「比 $a$ 大 5 的數等於 8」列成等式為：

$a - 5 = 8$

$5a = 8$

$a + 5 = 8$

$a + 8 = 5$

QUESTION 6

將「$b$ 的三分之一等於 9」列成等式為：

$\f\frac{1}{3}b = 9$

$3b = 9$

$b + \f\frac{1}{3} = 9$

$b - 3 = 9$

QUESTION 7

將「$x$ 的 2 倍與 10 的和等於 18」列成等式為：

$2x - 10 = 18$

$x^2 + 10 = 18$

$2x + 10 = 18$

$2(x + 10) = 18$

QUESTION 8

將「$x$ 的三分之一減 $y$ 的差等於 6」列成等式為：

$\f\frac{1}{3}x - y = 6$

$\f\frac{1}{3}(x - y) = 6$

$3x - y = 6$

$x - \f\frac{1}{3}y = 6$

QUESTION 9

種樹問題：每人種 10 棵多 6 棵，每人種 12 棵少 6 棵。設人數為 $x$，根據樹苗總量相等建立的方程是：

$10x - 6 = 12x + 6$

$10x + 6 = 12x - 6$

$\f\frac{x}{10} + 6 = \f\frac{x}{12} - 6$

$10(x + 6) = 12(x - 6)$

QUESTION 10

登山問題：張華速度 $10$m/min 先出發 30min，李明速度 $15$m/min。若兩人同時登頂，設李明用時 $t$ min，方程應為：

$15t = 10(t - 30)$

$15t = 10(t + 30)$

$15(t + 30) = 10t$

$\f\frac{t}{15} = \f\frac{t + 30}{10}$